Numeri



Cos'è un numero?

Un numero in matematica è la parola o il simbolo usato per designare quantità o entità che si comportano come quantità.

I numeri sono raggruppati in diversi insiemi o strutture; ognuno contiene quello precedente ed è più completo di esso e con maggiori possibilità nelle sue operazioni. Sono elencati di seguito.

Questa è la nozione matematica di fondamentale importanza, introdotta più o meno consapevolmente fin dall'antichità, per poter operare su quantità di elementi che costituiscono insiemi o su quantità che esprimono misure di entità materiali. Molti insiemi numerici possono essere introdotti assiomaticamente insieme alle operazioni corrispondenti, come i particolari algebrici e topologici. Viceversa, si può procedere costruttivamente, introducendo insiemi numerici successivamente più grandi.

Tipi di numeri: breve introduzione

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I numeri naturali 1, 2, 3,... sono introdotti come cardinali o ordinali, cioè come entità in grado di rappresentare l'ordine degli insiemi finiti e le posizioni delle sequenze (assiomi di Peano); lo zero è introdotto come ordine dell'insieme vuoto. 

Lo zero e i numeri naturali costituiscono l'insieme dei numeri non negativi. I numeri negativi sono introdotti come gli inversi dei numeri positivi rispetto all'addizione e per poter eseguire la sottrazione senza restrizioni. 

I numeri razionali sono introdotti per poter eseguire la divisione senza restrizioni. L'estensione ai numeri algebrici viene fatta per garantire l'esistenza di zeri di polinomi a coefficienti interi. 

I numeri reali sono introdotti per poter eseguire con restrizioni minime le operazioni che passano al limite. 

Infine, il campo reale viene esteso a quello dei numeri complessi per garantire l'esistenza di n radici per ogni polinomio di grado n.

- Si introducono i polinomi a coefficienti interi in modo che le operazioni possano essere eseguite con restrizioni minime sul passaggio al limite.

- Numero di Fermat: Qualsiasi numero della forma 22n+1, per ogni n=1,2,3, ... È stato dimostrato che la prima congettura del suo autore che questi numeri fossero tutti primi non è vera.

- Numero perfetto: numero intero positivo uguale alla somma dei suoi divisori positivi, escluso se stesso. Non si sa se esistono numeri perfetti dispari.

- Numero poligonale: numero naturale della sequenza n0 = 1, n1 ... nr ... dove nr = nr-1 + (m-2)r +1, dove m è un numero naturale maggiore di due. Per m = 3,4,5..., si ottengono i numeri triangolari, quadrangolari, pentagonali.... Il numero nr è il numero di punti segnati in uno schema geometrico formato da triangoli, quadrati, pentagoni..., rispettivamente.

- Numero transfinito: numero cardinale che non è intero.

- Numero trascendente: numero che non è la radice di nessuna equazione algebrica a coefficienti razionali.

- Numero triangolare: numero naturale della sequenza n0 = 1, n1 ... nr ... in cui nr = nr-1 + r +1, . Il numero nr è il numero di punti segnati in uno schema geometrico formato da triangoli.

- Numeri amici: coppia di numeri interi positivi tali che la somma dei divisori positivi di ciascun numero meno di se stesso è uguale all'altro numero.

- Numeri pitagorici: triade di numeri interi positivi tali che il quadrato di uno di essi è uguale alla somma dei quadrati degli altri due. Se le lunghezze dei due lati di un triangolo sono interi e pitagorici, il triangolo è ad angolo retto.

I numeri naturali

Sono quelli usati per contare gli elementi degli insiemi:

N = {0, 1, 2, 2, 3,..., 9, 10, 11, 11, 12,...}

Ci sono infiniti. Si possono sommare e moltiplicare e con entrambe le operazioni il risultato è, in tutti i casi, un numero naturale. Tuttavia, non sempre possono essere sottratti o divisi (né 3 - 7 né 7 : 4 sono numeri naturali).

I numeri interi

Questi sono i numeri naturali e i corrispondenti negativi:

Z = {..., -11, -10, -9,..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,..., 9, 10, 11,...}

Oltre ad essere aggiunti e moltiplicati in tutti i casi, possono essere sottratti, quindi questa struttura migliora quella dei naturali. Tuttavia, in generale, due interi non possono essere divisi. Ecco perché passiamo alla seguente struttura numerica.

I numeri razionali

Sono quelli che possono essere espressi come quoziente di due numeri interi. L'insieme Q dei numeri razionali è composto dai numeri interi e dai numeri frazionari. Possono essere aggiunti, sottratti, moltiplicati e divisi (tranne che per zero) e il risultato di tutte queste operazioni tra due numeri razionali è sempre un altro numero razionale.

I numeri reali

A differenza dei numeri naturali e dei numeri interi, i numeri razionali non sono disposti in modo tale da poter essere ordinati uno alla volta. Cioè, non c'è un numero razionale "successivo", perché tra due numeri razionali qualsiasi ce ne sono infinitamente tanti altri, così che se sono rappresentati su una retta, questa è densamente occupata da essi: se prendiamo un pezzo di retta, un segmento, per quanto piccolo, contiene infiniti numeri razionali. Tuttavia, tra questi numeri densamente situati sulla linea ci sono anche infiniti altri punti che non sono occupati da razionali. Questi sono i numeri irrazionali.

L'insieme formato da tutti i numeri razionali e irrazionali è l'insieme dei numeri reali, per cui tutti i numeri menzionati finora (naturali, interi, razionali, irrazionali) sono reali. Questi numeri occupano la linea dei numeri punto per punto, quindi si chiama linea reale.

Tra i numeri reali si definiscono le stesse operazioni dei razionali (addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, eccetto lo zero).

I numeri immaginari

Il prodotto di un numero reale per se stesso è sempre 0 o positivo, quindi l'equazione x2 = -1 non ha soluzione nel sistema dei numeri reali. Se si vuole dare un valore a x, tale che x = Á, questo non può essere un valore reale, non più in senso matematico ma nemmeno in senso tecnico. Un nuovo insieme di numeri (diverso da quello dei numeri reali), quello dei numeri immaginari, viene utilizzato a questo scopo. Il simbolo i rappresenta l'unità dei numeri immaginari ed è equivalente ad Á. Questi numeri permettono di trovare, per esempio, la soluzione dell'equazione , che può essere scritta come

x = 3 × i o x = 3i


I numeri bi,b ≠ 0, sono chiamati numeri immaginari puri.

Un numero immaginario si ottiene sommando un numero reale e un numero immaginario puro.

I numeri complessi

Nella sua forma generale, un numero complesso è rappresentato come a+ bi, dove a e b sono numeri reali. L'insieme dei numeri complessi consiste di tutti i numeri reali e di tutti i numeri immaginari.

I numeri complessi sono solitamente rappresentati nel cosiddetto diagramma di Argand. Le parti reali e immaginarie di un numero complesso sono poste come punti su due linee o assi perpendicolari. In questo modo, un numero complesso è rappresentato come un singolo punto su un piano, conosciuto come il piano complesso.

I numeri complessi sono di grande utilità nella teoria della corrente elettrica alternata così come in altri rami della fisica, nell'ingegneria e nelle scienze naturali.

I numeri complessi sono anche utili nella teoria della corrente elettrica alternata così come in altri rami della fisica, nell'ingegneria e nelle scienze naturali.

Elenco di numeri da 1 a 1000